ヘリーの定理

[定理](Helly) 平面上に、有限個の凸集合があり、これらのうちのどの 3つを選んでも、それらに共通な点が含まれるとすると、最初の凸集合すべてに共通な点が存在する。

証明はごく普通の帰納法でできる。特別な知識は何もいらない。
難しいとすれば、たぶん、凸集合の定義だけ。(まあ、誰でも凸集合がどういうものであるかは知っている。ただ、「へこんでない形」というイメージだけにたよると証明は難しいと思う。)
一応、凸集合の定義を書いておきます。

[定義] 集合Xは、Xの任意の2点を結ぶ線分が必ずXに含まれているとき凸集合と呼ばれる

応用としては、次のような問題が考えられます。

[応用問題] 平面上に有限個の点があり、どの3点を選んでも、この3点を半径1 の円で覆うことができるならば、すべての点を半径1 の円で覆うことができる。

応用問題の方は、メーリングリストでは話題になっていませんが、これからメーリングリストに参加しようと思っている人はちょっと考えてみてはいかが？

最終更新 21 May. 1997

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